Подробности Просмотров: 6090

Здравствйте! Меня зовут Владимир, я репетитор по математике. Этот урок я посвящаю окружности. Если в задаче фигурирует окружность, тогда у вас в голове должен быть ряд фактов, ряд шаблонов, которые с ней связаны. Это определения, теоремы, шаблонные построения и прочее вещи, которые должны у вас "подгружаться" в голове, когда вы сталкиваетесь с окружностью.

Начну с формального определения.

Окружность - это геометрическое место точек, равноудаленных от центра окружности.

Свойства окружности.

  1. Диаметр \(PD\) перпендикулярный хорде \(AB\) - делит ее пополам, т.е. \(AH = HB\).
  2. Если диаметр \(PD\) делит хорду \(AB\) - пополам, то он ей перпендикулярен, т.е. \( \angle OHB = 90^o\).
  3. Серединный перпендикуляр к хорде (то есть \(DH\)) - проходит через центр окружности.

 

 Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами - равны, т.е. дуга \(AB\) = дуге \(CD\), если \(AC\) параллельна \(BD\)

 

Замечательное свойство окружности:

Все углы, опирающиеся на диаметр \(AB\) (то есть берущие начало в диаметре \(AB\)), равны 90 градусов, то есть \( \angle AM1B =\angle AM2B =\angle AM3B = 90^o\)

Замечательное свойство окружности

 

 

Все углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(AB\) - равны, то есть \( \angle AN1B =\angle AN2B =\angle AN3B =\angle AN4B = 90^o\)

Замечательное свойство окружности

 

 

Свойство:

Отрезок между центрами \(O1\) и \(O2\) двух окружностей, перепендикулярен их общей хорде \(NM\).

Отрезок между центрами \(O1\) и \(O2\) двух окружностей, перепендикулярен их общей хорде

 

Свойство:

Центр описанной около прямоугольного треугольника \(ABC\) окружности - середина гипотенузы \(AC\).

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности - середина гипотенузы.

 

Окружность и касательная:

  1. Касательная \(AC\) к окружности перпендикулярна радиусу \(OC\) окружности
  2. Из любой точки \(A\) вне окружности касательные к окружности равны, то есть \(AC = AB\)
  3. Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе \(AO\) треугольника \(ACB\)

Окружность и касательная

 

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\), и гипотенузой \(c\), равен \(r = \frac{a+b-c}{2}\).

 

Свойство:

В произвольный треугольник вписана окружность. Тогда \(AM = p - BC\), где \(p = \frac {a+b+c}{2}\) - полупериметр треугольника.

Способ запомнить: отнимаем сторону, противоположную вершине \(A\).

 

Свойство:

Пусть дан треугольник \(ABC\). Окружность касается стороны \(BC\) и продолжений сторон \(AB\) и \(AC\). Тогда:

  1. \(AP = AK\), т.к. это касательные из одной точки (см. свойство выше).
  2. \(AP = AK = p\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) - полупериметр треугольника.

 

 

Свойство:

В треугольник \(ABC\) вписана окружность. Если угол \(BAC = \alpha\), тогда угол \(KLM = 90 - \alpha\). 

Запоминаем: строим четырехугольник, сумма двух острых углов дает 90 градусов.

 

Свойство:

Даны несопрекасающиеся окружности. Расстояние между их центрами равно \(a\).

  1. Тогда отрезок их общей внешней касательной \(AB\) равен: \(AB = \sqrt{a^2 -(R-r)^2}\)
  2. Тогда отрезок их общей внутренней касательной \(CD\) равен: \(CD = \sqrt{a^2 - (R+r)^2}\)

Даны несопрекасающиеся окружности. Расстояние между их центрами равно

 

Свойство:

Если в произвольный четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон - равны. То есть \(AB+CD = AD+BC\)

Касающиеся окружности:

  • Точка касания окружностей лежит на их линии центров
  • Окружности с радиусами \(R\) и \(r\) касаются внешним образом тогда и только тогда, когда \(R +r = O1+O2\).

касающиеся окружности

 

  • Две окружности касаются в точке \(K\), проходит общая касательная через точки \(A\) и \(B\). Тогда угол \(AKB = 90^o\)

  • Две окружности касаются в точке \(k\), проведена общая касательная через точки \(A\) и \(B\), тогда угол \(O1CO2 = 90^o\).

 

 

 

Определение:

  • Угловая величина дуги \(AB\) равна центральному углу \(AOB\).

Вписанный угол \(ACB\) или \(ADB\) равен половине центрального угла \(AOB\), опирающегося на ту же дугу. То есть \( \angle ACB = \angle ADB = \frac{ \angle AOB}{2}\)

 

Теорема (угол между пересекающимися хордами):

Угол между пересекающимися хордами \(NP\) и \(MS\) равен полусумме противоположных дуг \(MN\) и \(PS\), высекамых хордами. То есть \( \angle MKN = \angle PKS = \frac{MN+PS}{2}\)

Теорема (угол между пересекающимися хордами)

 

Теорема (угол между двумя секущими):

Угол между двумя секущими \(AC\) и \(AM\) (исходящими из одной точки \(A\)) равен полуразности высекаемых дуг, то есть \( \angle CAM = \frac{CM - BN}{2}\)

Теорема (угол между двумя секущими):

 

 

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания):

Угол между касательной \(BC\) и хордой \(AB\), проведенной в точку касания \(B\) равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть \( \angle ABC = \frac{AB}{2}\)

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания)

 

Теорема:

Если произвольный четырехугольник \(ABCD\) можно вписать в окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть

  • \( \angle ABC + \angle CDA = 180^o\)
  • \( \angle BCD + \angle DAB = 180^o\)

Если произвольный четырехугольник \(ABCD\) можно вписать в окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусов

Свойство. Произведение отрезков:

При перпесечении хорд \(AB\) и \(CD\) в точке пересечения \(P\), произведение \(APPB = CPPD\).

Теорема.

Из точки \(A\) к окружности проведена касательная \(AK\) и секущие \(AN1\), \(AN2\), \(AN3\).

Тогда: \(AK^2 = AS1AN1 = AS2AN2 = AS3AN3\)

 

Свойство:

Если окружности касаются в точке \(E\), тогда их внешние касательные \(AB\) и \(DC\) равны внутренней касательной \(NM\) (проходящей через точку касания и заключенной между внешними касательными) и равны \(2 \sqrt{Rr}\), то есть:

  • \(AB = DC = NM = 2 \sqrt{Rr}\)

Похожие материалы



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Окружность и все что с ней связано - Репетитор по математике Мастер класс снеговик олаф

Математика и то что с ней связанное Принципы математики, лингвистики и духовного - Живопись и
Математика и то что с ней связанное Математика и все, что с ней связано. контрольные работы
Математика и то что с ней связанное «Математика моя жизнь, и от нее никуда не деться
Математика и то что с ней связанное » Отзывы
Математика и то что с ней связанное Брат и сестра моются ванной: смотреть эротические и
Математика и то что с ней связанное Букеты из конфет своими руками. Домик из коробки. - Pinterest
Математика и то что с ней связанное Вареники с картошкой простой рецепт от Бабушки Эммы
Математика и то что с ней связанное Вероятность случайного события. 9 класс - К уроку - Математика


Похожие новости